Площадь треугольника

Страница 1

Существует несколько формул для вычисления площади треугольника. Рассмотрим те, что изучаются в школе.

Первая формула вытекает из формулы площади параллелограмма и предлагается учащимся в виде теоремы: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство: пусть S – площадь треугольника АВС (см. рис. 5). Примем сторону АВ за основание треугольника и проведем высоту СН. Докажем, что .

Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВDС так, как показано на рисунке 5:

Треугольники АВС и DСВ равны по трем сторонам (ВС – их общая сторона, АВ=СD и АС=ВD как противоположные стороны АВСD), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма АВСD, то есть . Теорема доказана.

Важно обратить внимание учащихся на два следствия, вытекающих из данной теоремы. А именно:

1) площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

2) если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Эти два следствия играют важную роль в решении разного рода задач. С опорой на данную доказывается еще одна теорема, имеющая широкое применение при решении задач: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Доказательство: пусть S и S1 – площади треугольников АВС и А1В1С1, у которых углы А и А1 равны (см. рис. 6).

Докажем, что

Наложим треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной А, а стороны А1В1 и А1С1 наложились соответственно на лучи АВ и АС. Треугольники АВС и АВ1С имеют общую высоту СН, поэтому Треугольники АВ1С и АВ1С1 также имеют общую высоту - В1Н1, поэтому Перемножая полученные равенства, находим: или . Теорема доказана.

Вторая формула тоже связана с параллелограммом: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Существует несколько способов доказательства этой формулы и один из них – достраивание треугольника до параллелограмма.

Докажем, что . Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВDС (см, рис. 7)

Треугольники АВС и DСВ равны по трем сторонам (ВС – общая сторона, АВ=DС, АС=DВ как противолежащие стороны параллелограмма). Площадь параллелограмма можно найти по формуле . Тогда по основным свойствам площади площадь треугольника АВС равна . Что и требовалось доказать.

Третья формула для площади треугольника – формула Герона названа так в честь древнегреческого ученого Герона Александрийского, жившего в первом веке нашей эры. Эта формула позволяет находить площадь треугольника, зная его стороны. Эта формула удобна тем, что позволяет не делать никаких дополнительных построений и не измерять углов. Ее вывод основывается на второй из рассмотренных нами формул площади треугольника и теореме косинусов:

Страницы: 1 2

Информация по педагогике:

Диагностика уровня сформированности познавательных способностей младших школьников
Для изучения познавательных способностей детей младшего школьного возраста на базе МАОУ СОШ №12 города Ишима Тюменской области был проведен эксперимент. В эксперименте приняли участие учащиеся 3 «А» и 3 «Б» классов в количестве 22 человека. 3 «А» составил экспериментальную группу, 3 «Б» контрольную ...

Старшеклассники, не прошедшие итоговых экзаменов, смогут остаться на второй год
Министерство образования и науки (Минобрнауки) намерено предоставить школьникам, получившим на государственной итоговой аттестации неудовлетворительные результаты, возможность остаться на повторное обучение. Как сообщили в пресс-службе ведомства, министерство разработало соответствующий проект ведо ...

Основные типы технологий в учебных заведениях нового типа
В качестве первого фактора (интегрированной характеристики) университета дистанционного обучения рассматривается тип используемых в учебном процессе информационных технологий. При этом необходимо подчеркнуть два важных аспекта. Во-первых, такая очередность рассмотрения факторов вовсе не означает пр ...

Дистанционное обучение

Дистанционное обучение

Дистанционную форму обучения специалисты по стратегическим проблемам образования называют образовательной системой 21 века.

Навигация

Copyright © 2021 - All Rights Reserved - www.easilyeducation.ru