Площадь прямоугольника

С площадью прямоугольника учащиеся знакомятся, уже изучая математику в пятом классе, но более детальное ее рассмотрение начинается в курсе геометрии восьмого ([3]) или девятого ([13]) класса. И в обоих случаях площадь прямоугольника рассматривается как часть темы «Площадь многоугольника».

В пятом и шестом классе уже изучалась площадь прямоугольника и площадь круга, но ни определения площади, ни ее свойств рассмотрено не было. Теперь же учащимся предлагается определение площади как величины той части плоскости, которую занимает многоугольник, и рассматриваются некоторые свойства площади:

1) Равные многоугольники имеют равные площади.

2) Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. (В учебнике эти два свойства названы основными).

3) Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

На основе этих трех свойств доказывается теорема о том, что площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство: рассмотрим прямоугольник со сторонами a, b и площадью S (см. рис. 1)

Докажем, что . Достроим прямоугольник до квадрата со стороной , как показано на рисунке. Площадь этого квадрата равна ()2. (по третьему свойству площади) С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (первое свойство площади) и двух других квадратов с площадью a2 и b2 (третье свойство площади). По второму свойству имеем:

или .

Отсюда получаем . Теорема доказана.

Тема площади прямоугольника играет важную роль в изучении площади вообще, так как служит основой для вывода площади треугольника, параллелограмма и др.

Задача 1: В новой квартире решили постелить паркет. Площадь ванной (2) 7м2, а прихожая (1), ванная (2) и кухня (3) занимают вместе 35 м2. Спальня (5) имеет форму квадрата со стороной c

=4м, а длина и ширина прямоугольной гостиной (4), соответственно, b

=

7м и

a

=6м. Какую площадь нужно застелить паркетом, если в ванной уже лежит плитка? (Рис. 2)

Решение: Площадь всей квартиры Sкв. равна сумме площадей всех комнат: ванной S2, прихожей S1, кухни, спальни S5 и гостиной S4. Площадь, которую нужно застелить паркетом, равна площади всей квартиры без площади ванной: S=Sкв.-S2.

Найдем площадь гостиной: так как она имеет форму прямоугольника, то S4=ab. Спальня имеет форму квадрата со стороной c

, значит S5= c2. Мы не знаем, какая площадь у прихожей и кухни в отдельности, но знаем, что вместе с ванной они занимают площадь S1,2,3=35м2. Итак, площадь всей квартиры равна Sкв.= S1,2,3+ S4+ S5= S1,2,3+ ab + c2, а площадь, которую нужно застелить паркетом S= S1,2,3+ S4+ S5= S1,2,3+ ab + c2- S2

или S=35+ + 42- 7=86м2.

Ответ: 86м2.

Информация по педагогике:

Организационно-методические модели дистанционного образования
Обучение по типу экстерната. Обучение, ориентированное на школьные или вузовские (экзаменационные) требования, предназначалось для учащихся и студентов, которые по каким-то причинам не могли посещать стационарные учебные заведения. Так, в 1836 году был организован Лондонский университет, основной з ...

Современные педагогические средства как основа развития учебной мотивации студентов
Логика нашего исследования предполагает рассмотрение вопроса "какие современные средства обучения рациональней всего использовать для развития учебной мотивации студентов УСПО?". В данном параграфе мы к ним и обратимся. Нельзя говорить о современных педагогических средств обучения, не зат ...

Эстетический потенциал математики как науки
Эстетический потенциал математики в практике обучения часто недооценивают. Однако на протяжении веков пути математики и различных видов искусства переплетались. Поэтому исторические сведения предоставляют благодатный материал для развития эстетического вкуса школьников. Зачастую в кругу цифр и мате ...