Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его поясняют на примерах. Так, можно говорить о множестве букв в некотором слове, о множестве однозначных чисел.
Объекты, из которых образуется множество, называют его элементами.
В математике изучают не только те или иные множества, но и связи, отношения между ними.
Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются. Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются.
Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то говорят, что В – подмножество А, и пишется ВÌ А.
Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. пустое множество является подмножеством любого множества (Æ Ì А). любое множество является подмножеством самого себя (А Ì А).
Продолжим рассмотрение отношений между множествами. Если каждый элемент множества В является элементом множества А и, наоборот, каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множества А и В равны, и пишут: А=В.
Множества А и В называются равными, если А Ì В и В Ì А.
Из определения равных множеств вытекает, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и порядок записи элементов множества не существен.
Все пустые множества равны.
Отношения между множествами наглядно можно представить с помощью кругов Эйлера. В том случае, если множества А и В имеют общие элементы, но не одно из них не является подмножеством другого, их изображают так, как это показано на рисунке 1.
рисунок 1.
Непересекающиеся множества А и В представляют при помощи двух кругов, не имеющих общих точек (рис.2).
рисунок 2.
Если множество В является подмножеством А, то круг, изображающий множество В, целиком помещается в круг, изображающий множество А (рис.3).
рисунок 3.
Равные множества представляют в виде одного круга (рис.4).
рисунок 4.
В математике часто приходится решать задачи, которые связаны с нахождением общих элементов двух или более совокупностей или с объединением нескольких совокупностей в одну. Обобщением таких ситуаций являются операции пересечения и объединения множеств.
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из тех или только этих элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Пересечение любых множеств А и В всегда существует и оно единственно.
Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечение данных множеств изобразится закрашенной областью (рис.5).
рисунок 5.
В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто и пишут: А Ç В = Æ.
Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется так же пересечением.
Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Аи В.
Объединение любых множеств А и В всегда существует, и оно единственно.
Объединение множеств А и В обозначают: А È В.
Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится закрашенной областью (рис.6).
рисунок 6.
Операция, при помощи которой находят объединение множеств, называется также объединением.
Информация по педагогике:
Социально-психологический и морально этический аспекты экранной культуры
современного подростка
Каждый период жизни ставит перед человеком сложные задачи развития, требующие для своего решения новых навыков и иного отношения. Подрастающее поколение неизбежно сталкивается с двумя главными задачами. Это достижение некоторой автономии от родителей и формирование идентичности, создание целостного ...
Культурологические технологии реализации программ образовательно-
воспитательной работы в ДОУ
Современное содержание дошкольного образования ориентирует педагогов на осуществление культурологического развития и формирование личности ребенка. Культурологический подход предполагает отношение педагога, направленное не только на усвоение детьми знаний, но и на способы этого усвоения, на образы ...
Главные
соединения ванадия
Ванадий образует соединения, проявляя степени окисления от +2 до +5, при этом наиболее стойки и типичны соединения, в которых он проявляет высшую степень окисления. С увеличением степени окисления ванадия усиливаются кислотные свойства его оксидов, а также их химическая стойкость. Монооксид ванадия ...
Дистанционное обучение
Дистанционную форму обучения специалисты по стратегическим проблемам образования называют образовательной системой 21 века.