Теоретические основы обучения математике в развивающей программе «Школа 2000…»

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его поясняют на примерах. Так, можно говорить о множестве букв в некотором слове, о множестве однозначных чисел.

Объекты, из которых образуется множество, называют его элементами.

В математике изучают не только те или иные множества, но и связи, отношения между ними.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются. Если множества не имеют общих элементов, то говорят, что они не пересекаются.

Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то говорят, что В – подмножество А, и пишется ВÌ А.

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. пустое множество является подмножеством любого множества (Æ Ì А). любое множество является подмножеством самого себя (А Ì А).

Продолжим рассмотрение отношений между множествами. Если каждый элемент множества В является элементом множества А и, наоборот, каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что множества А и В равны, и пишут: А=В.

Множества А и В называются равными, если А Ì В и В Ì А.

Из определения равных множеств вытекает, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и порядок записи элементов множества не существен.

Все пустые множества равны.

Отношения между множествами наглядно можно представить с помощью кругов Эйлера. В том случае, если множества А и В имеют общие элементы, но не одно из них не является подмножеством другого, их изображают так, как это показано на рисунке 1.

рисунок 1.

Непересекающиеся множества А и В представляют при помощи двух кругов, не имеющих общих точек (рис.2).

рисунок 2.

Если множество В является подмножеством А, то круг, изображающий множество В, целиком помещается в круг, изображающий множество А (рис.3).

рисунок 3.

Равные множества представляют в виде одного круга (рис.4).

рисунок 4.

В математике часто приходится решать задачи, которые связаны с нахождением общих элементов двух или более совокупностей или с объединением нескольких совокупностей в одну. Обобщением таких ситуаций являются операции пересечения и объединения множеств.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из тех или только этих элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Пересечение любых множеств А и В всегда существует и оно единственно.

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечение данных множеств изобразится закрашенной областью (рис.5).

рисунок 5.

В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто и пишут: А Ç В = Æ.

Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется так же пересечением.

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Аи В.

Объединение любых множеств А и В всегда существует, и оно единственно.

Объединение множеств А и В обозначают: А È В.

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится закрашенной областью (рис.6).

рисунок 6.

Операция, при помощи которой находят объединение множеств, называется также объединением.

Информация по педагогике:

История появления гончарного ремесла
Археологические находки во многих древнерусских городах свидетельствуют о широком развитии на Руси гончарного ремесла. В Древней Руси применяли большей частью двухъярусные (нижний, топочный ярус зарывали в землю), гончарные горны, но были и одноярусные.Слова «посуда» еще не было в Древней Руси. То, ...

Неблагоприятные факторы, воздействующие на ребенка, связанные с детскими учреждениями
Школа, составляющая социальную среду, в которой дети находятся в течение значительной части времени, нередко создает для них психологические трудности. Для детей школа оказывается причиной четырех комплексов проблем. Первый из них связан с поступлением в школу и возникает из-за перехода от игры к т ...

Н.К. Крупская о дошкольном воспитании
В своем первом произведении — «Женщина-работница» (1899) — Надежда Константиновна пишет о тяжелом положении трудящейся матери в дореволюционной России. В капиталистическом обществе мать, занятая на работе, не может уделить необходимое время воспитанию своего ребенка. «Итак, мы видим,— подчеркивает ...