Вывод формулы площади параллелограмма сводится к построению прямоугольника, равного данному параллелограмму по площади. Примем одну сторону параллелограмма за основание, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противолежащей стороны на прямую, содержащую основание будем называть высотой параллелограмма. Тогда площадь параллелограмма будет равна произведению его основания на высоту.
Теорема: площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Доказательство: рассмотрим параллелограмм АВСD с площадью S. Примем сторону АD за основание и проведем высоты ВН и СК (см. рис.3). Требуется доказать, что .
Докажем сначала, что площадь прямоугольника НВСК также равна S. Трапеция АВСК составлена из параллелограмма АВСD и треугольника DСК. С другой стороны, она составлена из прямоугольника НВСК и треугольника АВН. Но прямоугольные треугольники DСК и АВН равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузы АВ и СD равны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и СD секущей АD), поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограмма АВСD и прямоугольника НВСК также равны, то есть площадь прямоугольника НВСК равна S. По теореме о площади прямоугольника , но так как ВС=АD, то . Теорема доказана.
Пользуясь соотношениями между углами и сторонами треугольника можно вывести еще одну формулу для вычисления площади параллелограмма:
Воспользуемся только что полученной формулой и выразим высоту ВН через сторону АВ. В прямоугольном треугольнике АВН ВН – катет, лежащий против угла А, АВ – гипотенуза. Тогда . Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
Вывод формулы площади параллелограмма в первом случае основан на теме «площадь прямоугольника» и основных свойствах площади, во втором случае – на тригонометрических соотношениях, поэтому для успешного усвоения этих формул необходимо повторить ранее изученный материал.
Задача2: Деревянная рамка, имеющая форму прямоугольника со сторонами a
и
b
,
была деформирована так, что длины ее сторон сохранились (рис.4). Высота получившегося параллелограмма равна h
.
Выразите площадь получившейся рамки через площадь исходной.
Решение: Начальная рамка имела площадь прямоугольника со сторонами a
и
b
. Значит ее площадь S1=
ab
.
Так как получившаяся рамка имеет форму параллелограмма, то ее площадь вычисляется по формуле S2=bh
. Составим отношение . или , то есть площадь параллелограмма со сторонами равными сторонам прямоугольника во столько раз меньше площади прямоугольника, во сколько раз высота, проведенная к одной стороне больше другой стороны.
Информация по педагогике:
Эстетический потенциал математики как науки
Эстетический потенциал математики в практике обучения часто недооценивают. Однако на протяжении веков пути математики и различных видов искусства переплетались. Поэтому исторические сведения предоставляют благодатный материал для развития эстетического вкуса школьников. Зачастую в кругу цифр и мате ...
Понятие процесса формирования разносторонне развитой личности
Человек как часть природы, как высшее звено эволюции наделен естественными жизненными силами. Однако главное в человеке – это его личность. Говоря о развитии, воспитании и формировании личности, необходимо учитывать, что понятия эти взаимосвязаны, дополняют друг друга. Под развитием личности понима ...
Социализация детей-сирот
Л.С. Выготский: «Высшие процессы детского мышления… возникают в процессе социального развития ребенка путем перенесения на самого себя тех форм сотрудничества, которые ребенок усваивает в процессе взаимодействия с окружающей социальной средой. Мы видим, что коллективные формы сотрудничества предшес ...
Дистанционное обучение
Дистанционную форму обучения специалисты по стратегическим проблемам образования называют образовательной системой 21 века.