Когда общий способ удается выделить, он озвучивается у доски и этот этап завершается.
Четвертый этап, решение задачи «Квадратура круга» при помощи квадратрисы.
Задача о квадратуре круга
Построить квадрат, площадь которого была бы равновелика площади данного круга.
Решение Динострата при помощи квадратрисы
Пусть ANB – четверть окружности, расположенной в квадранте АОВ, а АМС – квадратриса этого квадранта. Далее Динострат воспользовался соотношением, которое позднее было доказано Паппом Александрийским: АNВ : ОВ = ОВ : ОС, где С – конечная точка квадратрисы.
Поскольку ОА = ОВ = R, то ANB : R = R : OC, или
ANB = R2/OC. Откуда длина окружности радиуса R равняется 4R2/OC. Т.о. длина окружности определена. Чтобы построить квадрат равновеликий кругу, Динострат воспользовался теоремой: площадь круга равна площади треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота – радиусу круга.
6. Подведение итогов.
В конце урока подвести итоги, обсуждая вопросы: что делали? Каких результатов добились?
Задача об удвоении куба
Вклад в решение Гиппократа Хиосского
Одним из первых древнегреческих геометров, сделавших значительный шаг в решении задачи об удвоении куба путем привлечения к циркулю и линейке дополнительных средств, был Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.).
Решение стереометрической задачи, какой является делосская задача об удвоении куба, Гиппократ Хиосский свел к рассмотрению планиметрической задачи, заключающейся в отыскании двух средних, пропорциональных между двумя данными отрезками, из которых второй в два раза больше первого. Т. е. к нахождению таких двух отрезков х и у, которые, будучи «вставлены» между двумя данными а и 2а, составили бы вместе с ними геометрическую прогрессию: а, х, у, 2а.
Поскольку а, х, у, 2а — геометрическая прогрессия, то
,
откуда х2 = ау и у2 = 2ах. Следовательно, х4 = а 2y2 = 2 а 3x или х3 = 2 а 3.
Вопросы и задания.
Каким образом строятся «вставки»?
Чему равно ребро удвоенного куба, если ребро данного куба равно а?
Вычислить, чему равны «вставки» х и у при а:
А) 1, В) 4,
Б) 2, Г) 6.
Решение Платона
Прибор Платона состоит из двух обыкновенных прямоугольных плотничьих наугольников, а само построение основано на лемме:
Лемма: Во всякой прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями, отрезки диагоналей образуют геометрическую прогрессию:
Построение «вставок» х и у, нужных для решения задачи об удвоении куба, проводится следующим образом. Берутся две взаимно перпендикулярные прямые m и n, пересекающиеся в точке О (см. рис.).
На прямой т вправо от точки О отложим отрезок ОС = а (а — сторона куба, подлежащего удвоению). На прямой n вниз от точки О отложим отрезок OD = 2а. Теперь возьмем два прямоугольных плотничьих наугольника (на чертеже заштрихованы) и расположим их так (см. рисунок), чтобы сторона первого наугольника проходила через точку С, которая считается данной, а вершина его находилась на прямой n; чтобы сторона второго наугольника проходила через точку D, которая также считается данной, а вершина находилась бы на прямой m; остальные две стороны наугольников должны соприкасаться.
Информация по педагогике:
Формы взаимодействия семьи по обучению детей старшего дошкольного возраста подвижным играм
Ни одна, даже самая лучшая физкультурно-оздоровительная программа не сможет дать полноценных результатов, если она не реализуется совместно с семьей, если в дошкольном учреждении не создано детско-взрослое общество (детей-родителей-педагогов), для которого характерно содействие друг другу, учет воз ...
Компетентность как новый образовательный результат
В предыдущем параграфе мы пришли к следующим выводам: во-первых, социальный контекст подросткового возраста крайне сложен и противоречив, во-вторых, несмотря на то, что контекстом подросткового возраста является личностное самоопределение, главные идентификационные потребности современных подростко ...
Развитие образного мышления дошкольника
Образное мышление – основной вид мышления дошкольника. В простейших формах оно проявляется уже в раннем детстве, обнаруживаясь в решении узкого круга задач, связанных с предметной деятельностью ребенка, с применением простейших орудий. К началу дошкольного возраста дети решают в уме только такие за ...
Дистанционное обучение
Дистанционную форму обучения специалисты по стратегическим проблемам образования называют образовательной системой 21 века.