Методика введения средств решения знаменитых задач древности

При таком расположении двух наугольников по данным точкам С и D найдем на прямых m и n точки А и В. х = ОВ и есть построенное ребро удвоенного куба.

Вопросы и задания.

Доказать лемму Платона.

Каким образом с помощью прибора Платона находятся «вставки»?

Доказать, что куб с ребром х в два раза больше по объему, чем куб с ребром а , т.е. х 3 = 2 а 3 (воспользоваться леммой).

Затем решается исходная задача, с помощью прибора Платона строится куб, в два раза больший по объему, чем куб с ребром:

А) 1, В) 4,

Б) 2, Г) 6.

Решение Эратосфена

Прибор Эратосфена носит название «мезолябий», что в переводе означает «уловитель», т. е. уловитель двух средних величин («вставок»), из которых одна составляет искомую сторону удвоенного куба.

Мезолябий Эратосфена состоит из двух параллельно расположенных реек m и n, расстояние между которыми равняется удвоенной стороне куба, т. е. 2а.

К этим рейкам прикреплены три равных прямоугольных треугольника, из которых один, самый левый, смонтирован неподвижно, а другие два могут перемещаться вдоль пазов, устроенных в рейках, причем на верхнюю рейку опираются равные катеты, а на нижнюю — их противоположные вершины (см. рис.).

Решение

На катете HD самого правого подвижного треугольника откладываем отрезок DQ = а. Теперь двигаем подвижные треугольники с таким расчетом, чтобы точки пересечения катета одного треугольника с гипотенузой следующего за ним (М и N) расположились бы на одной прямой с Е и Q. х = NC и будет найденной величиной искомого ребра удвоенного куба.

Вопросы и задания.

Как устроен прибор Эратосфена?

Каким образом с помощью мезолябия находятся «вставки»?

Доказать, что куб с ребром х в два раза больше по объему, чем куб с ребром а , т.е. х 3 = 2 а 3.

С помощью прибора Эратосфена строится куб, в два раза больший по объему, чем куб с ребром:

А) 1, В) 3,

Б) 2, Г) 5.

Решение Менехма

1) Решение задачи об удвоении куба с ребром а сводится к рассмотрению двух парабол:

2) Задача об удвоении куба сводится к решению двух уравнений, из которых одно – уравнение гиперболы, а другое – уравнение параболы

Вопросы и задания.

Каким образом задача сведена к рассмотрению функций?

Построить графики функций.

Найти с помощью графиков ребро удвоенного куба.

Задача о квадратуре круга

Решение Бинга

Приведем одно из решений задачи о квадратуре круга, основанное на использовании треугольника Бинга. Этот способ был предложен в 1836 г. русским инженером Бингом и очень удобен для практических целей.

Рассмотрим треугольник АВС (см. рис.), вписанный в круг, квадратура которого находится с таким расчетом, чтобы наибольшая сторона треугольника была диаметром. Обозначим угол CAB через а, а хорду АС через х. Подберем угол а так, чтобы отрезок х был стороной квадрата, равновеликого данному кругу. Для этой цели воспользуемся соотношением

,

где R — радиус круга.

Так, как площадь квадрата со стороной х должна быть равновелика площади круга, то будем иметь или 4R2 cos2 a = πR2, откуда cos2 a =π/4, cos a =1/2 = 0, 886. По таблицам находим a=27°36'.

Информация по педагогике:

Педставления умственно отсталого ребенка о природе
Ориентация дошкольного учреждения на общечеловече­ские ценности значительно меняет при­оритеты в воспитании, направляя основ­ное внимание на комплексное развитие личности ребенка. Одной из важнейших составляющих этого процесса является осознание ребенком законов окружающе­го мира природы и способах ...

Развитие познавательных процессов и способов умственной деятельности
Развитие познавательных процессов является важной задачей умственного воспитания детей с нарушениями слуха. Развитие ощущений и восприятия, формирование различных форм мышления, внимания, памяти, воображения являются элементом проведения разнообразных занятий и организации детской деятельности. Поз ...

Роль и значение невербальных элементов в общении и взаимопонимании с аутичными детьми
Психологами установлено, что в процессе взаимодействия с аутичными детьми от 60 до 80% коммуникации осуществляется за счет невербальных средств выражения, и только 20-40% информации передается с помощью вербальных. Эти данные заставляют нас задуматься над значением "невербалики" для психо ...