Методика введения средств решения знаменитых задач древности

Средства решения задач вводятся как исторический материал. Учащимся сообщается, какой ученый и в каком веке достиг результата, в чем заключается способ решения. Описание способов решения задач выдается в виде текстов с поставленными к ним вопросами и заданиями. Задачами детей являются:

изучение введенного средства,

его самостоятельное обоснование,

исследование возможностей его применения для решения задач.

Приведем образцы учебных текстов по каждой задаче.

Задача о трисекции угла

Решение Архимеда

Оригинальное и вместе с тем очень простое решение задачи о трисекции угла дал Архимед. Пусть требуется произвольно взятый острый угол AВС разделить на три равные части. Для этого из вершины данного угла В, как из центра, произвольным радиусом R опишем окружность.

Точки пересечения сторон данного угла с окружностью обозначим через D и Е. Теперь берем линейку с двумя точечными отметками F и G, причем длина отрезка FG = R, и прикладываем ее к точке Е так, чтобы F и G оказались на одной прямой с точкой Е и чтобы F находилась на окружности, а G — на продолжении стороны ВА. Тогда угол: ЕGD и будет составлять одну треть заданного угла АВС.

Вопросы и задания.

Каким образом Архимед делил угол на три равные части?

Доказать, что угол, построенный способом Архимеда, составляет одну треть заданного угла.

3. Какое дополнительное условие используется в способе Архимеда?

Далее учащимися могут быть решены задачи, которые неразрешимы циркулем и линейкой, например, разделить способом Архимеда углы:

А) 60о,

Б) 70о,

В) 80о.

Построение квадратрисы

В середине примерно пятого века до нашей эры Гиппий Элидский открыл новую кривую, которая была построена для деления данного угла на любое количество частей.

Пусть дан острый угол α и требуется разделить его на три равные части.

Сначала построим для некоторого квадрата АВСД квадратрису. Для этого дугу окружности ДВ и сторону АВ данного квадрата делим на 2n равных частей, где n – любое натуральное число. Для простоты положим n=4, тогда 2n=8. Делим дугу ДВ и радиус АВ на 8 равных частей. Концы полученных равных частей дуги ДВ обозначим цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Точки деления неподвижного радиуса АВ обозначим через 1’, 2’, 3’, 4’, 5’, 6’, 7’. Теперь точки 1 – 7 соединим прямыми с точкой А, а через точки 1’ – 7’ проведем прямые, перпендикулярные АВ.

Точки пересечения полученных радиусов с соответствующими прямыми, перпендикулярными АВ, и будут точками квадратрисы. Соединяя эти точки плавной кривой, мы и получаем квадратрису КВ, как непрерывную линию.

Вопросы и задания.

Каким образом строится квадратриса при n = 4?

У каждого ли квадрата есть квадратриса? Как она выглядит примерно?

Построить квадратрису при n:

А) 2, В) 5,

Б) 3, Г) 8.

В каком случае построение квадратрисы точнее?

Указать основное свойство квадратрисы.

Применяя квадратрису к решению задачи, учащиеся выделяют способ деления произвольного угла на три равные части при помощи квадратрисы. Выполняют следующие построения, деление при помощи квадратрисы на три равные части углов:

Информация по педагогике:

Балльно-рейтинговая система оценивания знаний и обеспечения качества учебного процесса
Важнейшей составляющей системы зачетных единиц является рейтинговая система оценки знаний. Она позволяет реализовывать механизмы обеспечения качества и оценки результатов обучения, активизировать учебную работу студентов, у которых появляются стимулы управления своей успеваемостью. Успешность изуче ...

Теоретические концепции социально-педагогического менеджмента
Научными источниками и основными составными частями менеджмента в социальной сфере являются социология и теория менеджмента. Несмотря на то, что само управление старо как мир, идея управления как научной дисциплины, области исследования, профессии относительно нова. Управление было признано самосто ...

Характеристика структуры и содержания экзаменационной работы по математике
Работа состоит из трех модулей: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика». В модули «Алгебра» и «Геометрия» входит две части, соответствующие проверке на базовом и повышенном уровнях, в модуль «Реальная математика» - одна часть, соответствующая проверке на базовом уровне. При проверке базовой м ...