Анализ средств решения знаменитых задач древности

Таким образом, чтобы доказать неразрешимость задачи о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки, необходимо установить невозможность указанными средствами построить произведение данного отрезка R на число , а для этого достаточно показать, - что или число π есть число трансцендентное. Заслуга Ф. Линдемана как раз и заключается в том, что он впервые в мировой науке вполне строго доказал, что π есть число трансцендентное, и тем самым окончательно установил невозможность решения задачи о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки. Вот почему Ф. Линдемана называют «победителем числа π».

Решение Бинга

Выше было показано, что задача о квадратуре круга неразрешима при помощи циркуля и линейки, однако она становится, вполне разрешимой, если специально для нее расширить средства построения, если воспользоваться некоторыми специальными кривыми (например, квадратрисой). Средствами циркуля и линейки можно решить задачу о квадратуре круга только приближенно.

Ниже приведем одно из приближенных решений задачи о квадратуре круга, основанное на использовании треугольника Бинга. Этот способ был предложен в 1836 г. русским инженером Бингом и очень удобен для практических целей.

Рассмотрим треугольник АВС (рис. 11), вписанный в круг, квадратура которого находится с таким расчетом, чтобы наибольшая сторона треугольника была диаметром. Обозначим угол CAB через а, а хорду АС через х. Подберем угол а так, чтобы отрезок х был стороной квадрата, равновеликого данному кругу. Для этой цели воспользуемся соотношением

,

где R — радиус круга.

Так, как площадь квадрата со стороной х должна быть равновелика площади круга, то будем иметь или 4R2 cos2 a = πR2, откуда cos2 a =π/4, cos a =1/2 = 0, 886. По таблицам находим a=27°36'.

Итак, проводя в данном круге хорду под углом 27°36' к диаметру, мы сразу получим искомую сторону квадрата, равновеликого данному кругу. Легко догадаться, что рассмотренный треугольник АВС и есть треугольник Бинга.

Решение Динострата при помощи квадратрисы

Пусть ANB – четверть окружности, расположенной в квадранте АОВ, а АМС – квадратриса этого квадранта. Далее Динострат воспользовался соотношением, которое позднее было доказано Паппом Александрийским: АNВ : ОВ = ОВ : ОС, где С – конечная точка квадратрисы.

Поскольку ОА = ОВ = R, то ANB : R = R : OC, или

ANB = R2/OC. Откуда длина окружности радиуса R равняется 4R2/OC. Т.о. длина окружности определена. Чтобы построить квадрат равновеликий кругу, Динострат воспользовался теоремой: площадь круга равна площади треугольника, основание которого равно окружности, а высота – радиусу круга. Уравнение квадратрисы:

.

Для понимания рассуждений о неразрешимости задачи о квадратуре круга школьники должны знать формулу площади круга, изучаемую в девятом классе. Эту формулу вполне возможно объяснить детям на дополнительном занятии раньше. Следующее необходимое знание – это знание об иррациональных числах, изучаемое в восьмом классе. Также нужны дополнительные знания из теории геометрических построений о том, на какое число и при каких условиях можно умножить данный отрезок.

Для возможности построения квадратуры круга при помощи треугольника Бинга обязательно нужно изучение описанной окружности, необходимо знать ее определение и теорему, что около любого треугольника можно описать окружность. Этот материал находится в курсе геометрии восьмого класса. В девятом классе изучается косинус острого угла прямоугольного треугольника, а это также необходимо для решения задачи. Также детям должно быть известно иррациональное число , они должны уметь приближенно вычислять , и пользоваться тригонометрическими таблицами Брадиса. Все это изучается в восьмом классе. Для переноса этой задачи в седьмой класс, необходимо дать детям все эти сведения на дополнительных занятиях.

Информация по педагогике:

Сущность понятия «развивающая среда»
И.Я. Берковский, И.О. Лосский, Д.С. Меретковский, Платон, З.Фрейд и другие рассматривали ребенка как уменьшенную копию взрослого, через которого раскрывается генезис культуры «этимология жизни». Современная парадигма обучения состоит в том, что ученик должен учиться сам, а учитель должен осуществля ...

Методика проведения подвижных игр
Выбор игры, прежде всего, зависит от задачи, поставленной перед уроком. Определяя её, руководитель учитывает возрастные особенности детей, их развития, физическую подготовленность, количество детей и условия проведения игры. В подвижных играх может участвовать от 3-х до 300 человек. При выборе игры ...

Современное состояние проблемы изучения элементов теории множеств в начальном курсе математики
Работа с учебником «Математика-3», производится по программе «Школа 2000…». На ранних стадиях обучения, опираясь на житейский опыт учащихся и конкретные примеры, вводятся понятия множества и величины (при этом множества рассматриваются лишь непересекающиеся, а сам термин «множество» на первых порах ...