Анализ средств решения знаменитых задач древности

Для того, чтобы дети смогли повторить решение Платона, следует показать им прямоугольные плотничьи наугольники, и сформулировать используемую лемму. Доказательство можно предложить провести самостоятельно. Для этого дети должны уметь проводить доказательства, использовать теоретические факты на практике. Данные о прямоугольных треугольниках, высотах, необходимые для доказательства леммы, известны школьникам с седьмого класса.

Для проведения решения задачи об удвоении куба при помощи мезолябия, детям нужно объяснить устройство этого прибора, чтобы детям был понятен смысл проводимых при его помощи рассуждений. Кроме того, в решении используется подобие треугольников, изучаемое в восьмом классе. Детям достаточно знать только определение подобных треугольников, что их стороны пропорциональны.

Решение Менехма требует от школьника знаний о решении систем уравнений, а также иметь представление о графиках парабол и гипербол. Материал о параболе, гиперболе и их графиках идет в курсе школьной математики в восьмом классе, решение систем уравнений – в девятом.

Школьникам нужно знать уравнения параболы и гиперболы, уметь строить их графики, иметь представления о решении систем уравнений аналитическим и графическим способами.

Из этого следует, что задачу об удвоении куба можно предлагать школьникам не ранее, чем в девятом классе.

При условии, что все необходимые сведения об используемых в задаче понятиях будут даны на дополнительных занятиях, можно перенести изучение задачи об удвоении куба в восьмой класс. При этом, для наилучшего понимания доказательства неразрешимости задачи при помощи циркуля и линейки, следует давать эту часть материала в более старших классах, когда все необходимые понятия будут сформированы.

Задача о квадратуре круга

Построить квадрат, площадь которого была бы равновелика площади данного круга.

Доказательство неразрешимости

Во второй половине XIX в. немецкому математику Ф. Линдеману удалось, наконец, доказать, что задача о квадратуре круга неразрешима при помощи указанных средств. Доказательство Линдемана трудное и выходит далеко за пределы школьного курса математики. Оставляя в стороне рассуждения Линдемана, мы ограничимся следующими краткими замечаниями.

Пусть дан круг радиуса R. Требуется построить квадрат, равновеликий этому кругу. Обозначим сторону искомого квадрата через х, тогда.

, откуда .

Таким образом, вопрос о построении квадрата, равновеликого данному кругу, сводится к построению произведения данного отрезка R на данное число, причем это построение надо провести при помощи циркуля и линейки, т. е. путем проведения конечного числа окружностей и прямых линий.

При помощи циркуля и линейки можно всегда построить произведение данного отрезка R на рациональное число (целое или дробное), но далеко не всегда можно указанными средствами построить произведение данного отрезка на число иррациональное. Это возможно в некоторых случаях, например, если иррациональное число равняется или; тогда R находится как сторона квадрата, вписанного в круг радиуса R, а R — как сторона правильного двенадцатиугольника, вписанного в круг радиуса R, причем, как известно, правильный двенадцатиугольник в круг можно вписать довольно легко, после того как в круг вписан правильный шестиугольник.

В теории геометрических построений установлено, что данный отрезок R можно умножить при помощи циркуля и линейки на вещественное число лишь только в том случае, если это вещественное число может быть корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в квадратных радикалах. Число, которое не может являться корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, принято называть трансцендентным числом. Следовательно, при помощи циркуля и линейки нельзя построить произведение данного отрезка R на число трансцендентное.

Информация по педагогике:

Главные соединения ванадия
Ванадий образует соединения, проявляя степени окисления от +2 до +5, при этом наиболее стойки и типичны соединения, в которых он проявляет высшую степень окисления. С увеличением степени окисления ванадия усиливаются кислотные свойства его оксидов, а также их химическая стойкость. Монооксид ванадия ...

Формы организации учебного процесса, направленного на формирование универсальных учебных действий
Начало обучения в школе вводит ребенка в новый незнакомый для него мир – мир науки, в котором существуют свои язык, правила и законы. Часто в процессе обучения учитель знакомит ребенка с понятиями, научными объектами, но не создает условий для осмысления закономерностей их связывающих. Осмысление т ...

Методическая разработка урока
Урок-это основная организационная форма логически законченного, целостного, ограниченного временными рамками отрезка учебно-воспитательного процесса. В нем представлены в сложном взаимодействии все компоненты учебно-воспитательного процесса: цели, содержание, методы, формы организации деятельности ...