Анализ средств решения знаменитых задач древности

Страница 7

Для того, чтобы дети смогли повторить решение Платона, следует показать им прямоугольные плотничьи наугольники, и сформулировать используемую лемму. Доказательство можно предложить провести самостоятельно. Для этого дети должны уметь проводить доказательства, использовать теоретические факты на практике. Данные о прямоугольных треугольниках, высотах, необходимые для доказательства леммы, известны школьникам с седьмого класса.

Для проведения решения задачи об удвоении куба при помощи мезолябия, детям нужно объяснить устройство этого прибора, чтобы детям был понятен смысл проводимых при его помощи рассуждений. Кроме того, в решении используется подобие треугольников, изучаемое в восьмом классе. Детям достаточно знать только определение подобных треугольников, что их стороны пропорциональны.

Решение Менехма требует от школьника знаний о решении систем уравнений, а также иметь представление о графиках парабол и гипербол. Материал о параболе, гиперболе и их графиках идет в курсе школьной математики в восьмом классе, решение систем уравнений – в девятом.

Школьникам нужно знать уравнения параболы и гиперболы, уметь строить их графики, иметь представления о решении систем уравнений аналитическим и графическим способами.

Из этого следует, что задачу об удвоении куба можно предлагать школьникам не ранее, чем в девятом классе.

При условии, что все необходимые сведения об используемых в задаче понятиях будут даны на дополнительных занятиях, можно перенести изучение задачи об удвоении куба в восьмой класс. При этом, для наилучшего понимания доказательства неразрешимости задачи при помощи циркуля и линейки, следует давать эту часть материала в более старших классах, когда все необходимые понятия будут сформированы.

Задача о квадратуре круга

Построить квадрат, площадь которого была бы равновелика площади данного круга.

Доказательство неразрешимости

Во второй половине XIX в. немецкому математику Ф. Линдеману удалось, наконец, доказать, что задача о квадратуре круга неразрешима при помощи указанных средств. Доказательство Линдемана трудное и выходит далеко за пределы школьного курса математики. Оставляя в стороне рассуждения Линдемана, мы ограничимся следующими краткими замечаниями.

Пусть дан круг радиуса R. Требуется построить квадрат, равновеликий этому кругу. Обозначим сторону искомого квадрата через х, тогда.

, откуда .

Таким образом, вопрос о построении квадрата, равновеликого данному кругу, сводится к построению произведения данного отрезка R на данное число, причем это построение надо провести при помощи циркуля и линейки, т. е. путем проведения конечного числа окружностей и прямых линий.

При помощи циркуля и линейки можно всегда построить произведение данного отрезка R на рациональное число (целое или дробное), но далеко не всегда можно указанными средствами построить произведение данного отрезка на число иррациональное. Это возможно в некоторых случаях, например, если иррациональное число равняется или; тогда R находится как сторона квадрата, вписанного в круг радиуса R, а R — как сторона правильного двенадцатиугольника, вписанного в круг радиуса R, причем, как известно, правильный двенадцатиугольник в круг можно вписать довольно легко, после того как в круг вписан правильный шестиугольник.

В теории геометрических построений установлено, что данный отрезок R можно умножить при помощи циркуля и линейки на вещественное число лишь только в том случае, если это вещественное число может быть корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в квадратных радикалах. Число, которое не может являться корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, принято называть трансцендентным числом. Следовательно, при помощи циркуля и линейки нельзя построить произведение данного отрезка R на число трансцендентное.

Страницы: 2 3 4 5 6 7 8 9

Информация по педагогике:

Понятие и сущность учебной мотивации студентов учреждений СПО
Формирование учебной мотивации является основой становления компетентного специалиста, который постоянно усовершенствует свои навыки, улучшает знания, развивается. Неверно говорить об учебной мотивации, не затронув такое базисное понятие как "развитие". В философских словарях "развит ...

Использование песен при обучении лексике и грамматике
Обучение грамматической стороне речи считается одним из самых сложных аспектов в обучении иностранному языку, поэтому существует много подходов к формированию грамматических навыков у обучающихся. По Пассову, грамматический навык есть синтезированное действие по выбору модели, адекватной речевой за ...

Характеристика детей участвующих в исследование
В эксперименте приняло участие 10 детей 6-7 лет. Группа была разделена на две подгруппы (слабая и сильная) по пять человек в каждой. Обследование проводилось в МДОУ компенсирующего вида №1123, находящегося по адресу г. Москва, ул. Молостовых, д.1, корпус 6, в котором обучаются дети с диагнозами: гр ...

Дистанционное обучение

Дистанционное обучение

Дистанционную форму обучения специалисты по стратегическим проблемам образования называют образовательной системой 21 века.

Навигация

Copyright © 2021 - All Rights Reserved - www.easilyeducation.ru