Анализ средств решения знаменитых задач древности

Поскольку а, х, у, 2а — геометрическая прогрессия, то

,

откуда х2 = ау и у2 = 2ах. Следовательно, х4 = a2y2 = 2a3x или х3 = 2а3. Выходит, что х и есть ребро искомого куба, превосходящего по объему данный куб с ребром а в два раза.

Ясно, что при помощи циркуля и линейки «вставки» х и у найти нельзя, так как обратное приводило бы к построению циркулем и линейкой х = , что, как указывалось выше, выполнить невозможно.

Решение Платона

Оказывается, «вставки» х и у можно найти, если воспользоваться дополнительными средствами в виде специально изготовленных приборов (механизмов). Оригинальные и весьма простые приборы для механического нахождения «вставок» х и у по двум заданным отрезкам а и 2а предложили Платон и Эратосфен. Прибор Платона состоит из двух обыкновенных прямоугольных плотничьих наугольников, а само построение основано на лемме:

Лемма: Во всякой прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями, отрезки диагоналей образуют геометрическую прогрессию:

Доказательство: Пусть АВСД – прямоугольная трапеция, у которой ∟А=∟В=90о и АС перпендикулярно ВД. В этом случае докажем, что . Из того, что ∆АВС и ∆ВАД прямоугольные, а ОВ и ОА соответственно их высоты, вытекает:

(1)

(2).

Из (1) и (2), как следствие, получаем: . Что и требовалось доказать.

Построение «вставок» х и у, нужных для решения задачи об удвоении куба, проводится следующим образом. Берутся две взаимно перпендикулярные прямые т и п, пересекающиеся в точке О (рис. 7).

На прямой т вправо от точки О отложим отрезок ОС = а (а — сторона куба, подлежащего удвоению). На прямой п вниз от точки О отложим отрезок OD = 2а. Теперь возьмем два прямоугольных плотничьих наугольника (на чертеже заштрихованы) и расположим их так (см. рисунок), чтобы сторона первого наугольника проходила через точку С, которая считается данной, а вершина его находилась на прямой п; чтобы сторона второго наугольника проходила через точку D, которая также считается данной, а вершина находилась бы на прямой m; остальные две стороны наугольников должны соприкасаться.

При таком расположении двух наугольников по данным точкам С и D найдем на прямых т и п точки А и В. Тогда 0В = х, а О А = у. По лемме

, откуда .

Следовательно, х = 0В и есть построенное ребро удвоенного куба, что и нужно было сделать.

Решение Эратосфена

Прибор Эратосфена носит название «мезолябий», что в переводе означает «уловитель», т. е. уловитель двух средних величин («вставок»), из которых одна составляет искомую сторону удвоенного куба.

Мезолябий Эратосфена состоит из двух параллельно расположенных реек т и п, расстояние между которыми равняется удвоенной стороне куба, т. е. 2а. К этим рейкам прикреплены три равных прямоугольных треугольника, из которых один, самый левый, смонтирован неподвижно, а другие два могут перемещаться вдоль пазов, устроенных в рейках, причем на верхнюю рейку опираются равные катеты, а на нижнюю — их противоположные вершины (рис. 8).

На катете HD самого правого подвижного треугольника откладываем отрезок DQ = а. Теперь двигаем подвижные треугольники с таким расчетом, чтобы точки пересечения катета одного треугольника с гипотенузой следующего за ним (М и N) расположились бы на одной прямой с Е и Q. Тогда из соответствующих подобных треугольников получаем

Информация по педагогике:

Оптимизация изучения основных направлений биотехнологии в средней школе
Проанализировав школьные учебники и программы относительно содержания в них материала по вопросам биотехнологии, можно сделать вывод о том, что далеко не все программы предусматривают рассмотрение последних, а если и рассматривают, то в неполном объёме. Таким образом, помимо разработки единого комп ...

Работа апелляционной комиссии
Для разрешения спорных вопросов при оценке выполне­ния тестовых заданий и защи­ты прав участников ЕНТ в каж­дом ПП ЕНТ создается апелля­ционная комиссия. Заявление на апелляцию подается в апелляционную ко­миссию до 13 часов следую­щего дня после объявления результатов тестирования и рассматривается ...

Понятие универсальных учебных действий и их классификация
В широком значении термин «универсальные учебные действия» означает умение учиться, т. е. способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путём сознательного и активного присвоения нового социального опыта. В более узком значении этот термин можно определить как совокупность способов де ...