Анализ средств решения знаменитых задач древности

.

Обозначая NC через х и MB через у, находим .

Следовательно, х = NC и будет найденной величиной искомого ребра удвоенного куба. Делосская задача решена.

Решение Менехма

1) Решение задачи об удвоении куба с ребром а сводится к рассмотрению двух парабол:

Решая эти уравнения, как систему относительно x, будем иметь

Получаем 2 вещественных корня . Первый корень не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, искомым решением будет второй корень, т.е. ребро удвоенного куба равняется .

Путем построения графиков обеих парабол искомое ребро куба получается, как ненулевая абсцисса точки пересечения парабол:

2) Задача об удвоении куба сводится к решению двух уравнений, из которых одно – уравнение гиперболы, а другое – уравнение параболы

.

Решая совместно относительно х, получим , или . Следовательно, . Путем построения графиков искомое ребро удвоенного куба находится, как абсцисса пересечения гиперболы с параболой:

Задачу об удвоении куба можно предлагать не ранее чем в восьмом классе, т.к. основным в решении является понятие иррационального числа. Кроме того, решение задачи опирается на изучаемые в восьмом классе теорему Пифагора и решение рациональных и иррациональных уравнений. Этот материал занимает прочное место и большой объем в курсе математики в восьмом классе, и дать его детям раньше представляет определенную трудность.

Учащиеся должны знать, что такое иррациональное число, что оно не выражается конечной или бесконечной периодической дробью, уметь извлекать квадратный корень, иметь представления о решении рациональных уравнений, должны знать формулировку теоремы Пифагора, уметь использовать ее.

Из того, что для построения ребра удвоенного куба необходимо построить , следует, что дети должны уметь извлекать корни n-й степени, в частности, корень кубический. Этот материал изучается в девятом классе.

Прежде, чем давать в рассмотрение задачу об удвоении куба, необходимо убедиться, что детям известны возможные построения циркулем и линейкой. Если же этого нет, то нужно обязательно предоставить детям возможность изучить этот материал, самостоятельно или с помощью учителя. Без этого знания учащиеся не смогут понять, почему при помощи циркуля и линейки построить нельзя. А это необходимое условие для дальнейшего продвижения в решении задачи.

Теорема неразрешимости не изучается в курсе школьной математики, поэтому ее формулировку и пояснение ее смысла следует давать детям дополнительно. Это возможно не ранее, чем в девятом классе, так как в теореме идет речь о кубическом уравнении, не имеющем рациональных корней.

Для понимания рассуждений о построении «вставок» требуется знание геометрической прогрессии, пропорций и их свойств. Это также указывает на невозможность изучения задачи до девятого класса, потому что именно в девятом классе проходят геометрическую прогрессию.

О геометрической прогрессии нужно знать: ее определение и следующее свойство – отношение двух, следующих друг за другом, членов геометрической прогрессии постоянно. О пропорции также нужно знать определение и свойство – произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Информация по педагогике:

Компетентность как новый образовательный результат
В предыдущем параграфе мы пришли к следующим выводам: во-первых, социальный контекст подросткового возраста крайне сложен и противоречив, во-вторых, несмотря на то, что контекстом подросткового возраста является личностное самоопределение, главные идентификационные потребности современных подростко ...

Речевая деятельность детей, ее развитие и задачи
Человек всю жизнь совершенствует свою речь, овладевая богатствами языка. Каждый возрастной этап вносит что-то новое в его речевое развитие. Наиболее важные ступени в овладении речью приходятся на детский возраст его дошкольный и школьный периоды. В раннем детстве у ребенка возникают потребности общ ...

Психологический образ современногопедагога
К личности будущего педагога предъявляется ряд самых серьезных требований. Среди них можно выделить главные, без удовлетворения которых невозможно стать высококвалифицированным учителем или воспитателем, и второстепенные, соответствие которым не обязательно для педагога, но делает его личностью, сп ...