Анализ средств решения знаменитых задач древности

Страница 4

Не в состоянии решить эту задачу так, как требовал оракул, делосцы обратились за помощью к математику и философу Платону. Но он уклончиво ответил им: «Боги, вероятно, недовольны вами за то, что вы мало занимаетесь геометрией». Однако сам Платон не сумел решить указанной задачи циркулем и линейкой. С того времени эта задача и стала именоваться «делосской» (иногда ее неправильно называют «делийской»).

Удвоение квадрата

Древние греки сравнительно легко решили задачу об удвоении квадрата. Для этого надо было уметь строить при помощи циркуля и линейки корень квадратный из двух. Действительно, если сторона данного квадрата равняется а, а сторона искомого квадрата х, то, согласно условию задачи, будем иметь , откуда .

Следовательно, в качестве х надо взять диагональ данного квадрата, которая по теореме Пифагора как раз и будет равняться (рис. 5).

Сведение задачи к нахождению

Обобщая задачу об удвоении квадрата, древние греки перешли к рассмотрению задачи об удвоении куба и также стремились решить ее при помощи циркуля и линейки. Оказалось, что решение задачи об удвоении куба сводится к построению циркулем и линейкой корня кубического из двух. Действительно, если ребро данного куба положить равным а, а ребро искомого куба х, то, согласно условию задачи, будем иметь

х3 = 2а3, откуда .

Однако все старания построить циркулем и линейкой не увенчались успехом. И трудно сказать, как долго еще продолжались бы эти попытки, если бы, наконец, в первой половине XIX в. не было доказано, что при помощи только циркуля и линейки построить нельзя.

Доказательство неразрешимости

В современной математике доказано, что кубическое уравнение с рациональными коэффициентами, не имеющее рациональных корней, не может быть разрешимо в квадратных радикалах, т. е. ни один из корней этого уравнения не может быть построен при помощи циркуля и линейки.

Доказательство этой теоремы в приложении 1.

Выше было показано, что задача об удвоении куба сводится к решению кубического уравнения , где а — ребро данного куба, х — искомое ребро удвоенного куба.

Приняв для простоты длину ребра данного куба за 1, получим уравнение х3 — 2=0. Это уравнение с рациональными коэффициентами, как легко убедиться, не может иметь рациональных корней. Следовательно, по предыдущей теореме задача об удвоении куба не может быть решена при помощи циркуля и линейки.

Первым из ученых, открыто высказавшим мнение о невозможности построения посредством циркуля и линейки отрезка, равного , был французский ученый Р. Декарт. В 1637 г. он высказал предположение, что корень кубический из некубического рационального числа есть вообще иррациональность, не приводящаяся к конечному числу действий извлечения квадратного корня.

Строгое доказательство неразрешимости задачи об удвоении куба при помощи циркуля и линейки было дано французским математиком П. Венцелем в 1837 г.

Вклад в решение Гиппократа Хиосского

Одним из первых древнегреческих геометров, сделавших значительный шаг в решении задачи об удвоении куба путем привлечения к циркулю и линейке дополнительных средств, был Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.).

Решение стереометрической задачи, какой является делосская задача об удвоении куба, Гиппократ Хиосский свел к рассмотрению планиметрической задачи, заключающейся в отыскании двух средних, пропорциональных между двумя данными отрезками, из которых второй в два раза больше первого. Т. е. к нахождению таких двух отрезков х и у, которые, будучи «вставлены» между двумя данными а и 2а, составили бы вместе с ними геометрическую прогрессию: а, х, у, 2а.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Информация по педагогике:

Интеграция в детском саду
Наиболее важными периодами развития детей с особенностями развития являются младенческий, ранний и дошкольный возраста. Ребенок дошкольного возраста требует особого внимания, так как дошкольное детство является периодом интенсивной социализации ребенка. (5 Д) Совместное дошкольное воспитание являет ...

Школа, Вуз в воспитании молодежи
Большую ценность представляют правила хорошего тона, строго соблюдаемые горцами в их общении. Употребление нецензурного слова даже в узком кругу товарищей считается предосудительным проступком, из-за которого человек теряет уважение окружающих. Ругательство можно услышать только в случае серьезной ...

Современное понятие психодиагностики
Психодиагностика является универсальным научным инструментом, используемым во всех прикладных областях психологии и непосредственно на практике. Психодиагностика имеет двустороннюю связь с прикладными проблемами, что является ее отличительной чертой. Характеризуя цель психодиагностики, некоторые ис ...

Дистанционное обучение

Дистанционное обучение

Дистанционную форму обучения специалисты по стратегическим проблемам образования называют образовательной системой 21 века.

Навигация

Copyright © 2025 - All Rights Reserved - www.easilyeducation.ru